《两个塑胶跑道多长一个门》是一道经典的数学问题，也是中学数学中常见的题型之一。这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识和思维方法，是一道很有意思的数学难题。
问题描述
题目中给出了两个塑胶跑道，分别为A、B，它们的长度分别为x和y。两个跑道之间有一个门，门的宽度为w，现在要求通过这个门的最大球的直径为d。问d最大为多少？
解题思路
首先，我们需要明确问题中的一些概念。如下图所示，假设两个跑道之间的门的中心线为O，门的宽度为w，最大球的直径为d。则有以下几个关键点：
1. 最大球的直径d必须小于等于门的宽度w，否则无法通过门。
2. 最大球的直径d必须小于等于跑道A和跑道B中较窄的那一个，否则无法通过跑道。
3. 最大球的直径d必须小于等于跑道A和跑道B之间的距离的最小值，否则无法通过门。
根据以上三个条件，我们可以列出以下不等式：
d ≤ w
d ≤ min(x, y)
d ≤ (x + y - w) / 2
其中，第一个不等式是门的宽度限制，第二个不等式是跑道宽度限制，第三个不等式是跑道之间距离限制。
接下来，我们需要将这三个不等式联立起来，求出d的最大值。这可以通过求解一元二次不等式来实现。具体步骤如下：
1. 将第一个和第二个不等式合并，得到d ≤ min(w, min(x, y))。
2. 将第一个和第三个不等式合并，得到d ≤ (w + x + y) / 2。
3. 将第二个和第三个不等式合并，得到d ≤ (x + y - sqrt((x - y + w) * (x + y + w))) / 2。
4. 由于d必须满足以上三个不等式中的任意一个，因此d的最大值为以上三个不等式中的最小值。天博体育官方网站
5. 将上述三个不等式代入求最小值的公式中，即可得到d的最大值。
具体计算过程如下：
d ≤ min(w, min(x, y)) = min(8, min(10, 12)) = 8
d ≤ (w + x + y) / 2 = (8 + 10 + 12) / 2 = 15
d ≤ (x + y - sqrt((x - y + w) * (x + y + w))) / 2 = (10 + 12 - sqrt((10 - 12 + 8) * (10 + 12 + 8))) / 2 = 8
因此，d的最大值为8，即最大球的直径不能超过8。
结论
通过以上计算，我们得出了一个重要结论：两个塑胶跑道多长一个门时，通过门的最大球的直径为8。这个结论不仅有实际应用价值，而且也涉及到了许多数学知识和思维方法，如不等式、二次函数、最大值等等。因此，这个问题可以作为中学数学教学中的一个例题，帮助学生提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
